電気回路では
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電気回路素子に流れる電流や電圧を求めます。
電気回路素子の代表的なものは、抵抗、コンデンサ、コイル(インダクタ)などです。
特に断りがなければ、電気回路素子は理想的な状態であると考えます。
つまり、温度で素子の定数が変化したり、誤差を持っているとは考えません。
また、例えば抵抗ならは純粋な抵抗分のみを持ち、周りの回路との間に容量を持ったり、
リード線がインダクタンスを持っていたりするとは考えません。
集中定数で考える場合は、配線の長さは0と同じで考えます。
その場合、配線も抵抗やインダクタンスを持っているとは考えません。
しかし、分布定数回路では、配線の長さの影響について考えます。
直流回路
- 電圧と電流(ボツ)
項目 理論的な定義 身近な測定器 標準器 備考 電圧(電位差) v=∫(a〜b)E・ds 電圧計 標準電圧ICなど 電流 i=dQ/dt 電流計 標準電圧IC+標準抵抗器など
- 直流と交流
- オームの法則
- 直列接続と並列接続
- キルヒホッフの法則
- 電圧源と電流源
- テブナンとノートン
電気回路素子とインピーダンス
- 正弦波交流の表し方
v = Vm * sin(ωt + δ)
ここに、
Vm: 最大値
ω: 角周波数(=2π/T = 2πf)
δ: 位相
T : 周期(周期Tの逆数を周波数fといいます。すなわち、f=1/T)
- 電気回路素子の電圧と電流
電気回路素子に交流電圧を印加したとき、素子に流れる電流は下図のようになります。
ここで交流電圧の瞬時値は
v=sin(ωt)
です。
電気素子 回路 電圧と電流
の関係電流(瞬時値) 消費電力(瞬時値) 備考 抵抗 
v = iR i=Im sin(ωt)
Im=Vm/Rp= コンデンサ 
v= 1/C ×∫i dt i=Im sin(ωt+π/2)
Im=ωC * Vmp= コイル 
v = -L di/dt i=Im sin(ωt-π/2)
Im=Vm/(ωL)p=
- コンデンサの電圧と電流(ボツ)
コンデンサに蓄えられる電荷をq、両端の電圧をV
静電容量をCとすれば、コンデンサにおける基本的な式より
q = CV
となります。
一方、コンデンサに電流iが流れ込むとき、コンデンサには
冫[C]の電荷が増加します。
この現象を数式で表現すると、
i = dq/dt
の関係が成り立ちます。
この式は、私(JH8CHU)にはかなり難しく感じられましたが
電流iが流れるとゆうことは、電線を単位時間にQ[C]の電荷が
移動することであり、この電荷Qはそのままコンデンサの電荷の
増加冫となる訳で、この現象を数式化するとコンデンサの
単位時間あたりの電荷の変化となるため微分の形が出てくるわけで、
難しく感じられると思いますが、式と物理現象の対応を考えると
納得出来ると思います。(^^;
コンデンサの両端に交流電圧
V = Vm sim(ωt)
を印加すると、コンデンサに流れる電流iは
i = dq/dt = d(CV)/dt = C×dV/dt
= C×d(Vm sin(ωt)) = C×Vm×d(sin(ωt)
= C×Vm×ω×cos(ωt)
= Vm×(Cω)×cos(ωt)
= Vm×1/(1/Cω)×cos(ωt)
= Vm/(1/Cω)×sin(ωt+π/2)
となります。
この式から、電流iの位相は電圧の位相よりπ/2進むことが
判ります。また、iの最大値はVm/(1/Cω)ですが、直流における
オームの法則との対比によりコンデンサの抵抗に相当するのは
(1/Cω)となります。この抵抗に相当するものは(容量性)リアクタンス
と呼び、しばしばXcと表現します。
- コイルの電圧と電流
- 抵抗・コイル・コンデンサの回路
- 相互インダクタンスと変圧器
正弦波交流と複素数表示
これを理解しないと電気回路を学んだことにならない、と言われるくらい電気回路の中では重要な概念ですが、その一方で、電磁気学でのベクトル解析や
半導体理論におけるシュレディンガー方程式やフェルミ準位のように電子工学の
基礎理論の中では理解の難しいテーマのひとつです。(^_^;
- RL直列回路(微分方程式による解法)
- RC直列回路(微分方程式による解法)
- RLC直列回路(微分方程式による解法)
- (複素数による解法)
これまで見てきたように、交流回路を解析するためには微分方程式を解く必要があります。
しかし、素子がふたつ位であれば、微分方程式を解くことは難しくはありませんが、
素子の数がもっと増えていくと、もはや微分方程式を解くことは容易ではなくなります。
そこで、交流電圧や交流電流を複素数で表現する方法が考えられました。
実数で表現出来るものを、わざわざ複素数で現すのは、かえって面倒になったように
最初は感じられるものです。
- フェーザ表示による解法(ベクトル記号法による解法)
交流電圧や交流電流を複素数で現すと、実数のまま交流を扱うより回路の解析が
容易になることを見てきました。
ところで、線形な回路においては、回路内の電圧や電流の周波数は、回路に接続された
交流電源の周波数と常に同じになります。
そうであるならば、交流を表現する際、周波数の項は省略して、位相と大きさのみで
解析をするようにすると、更に交流回路の扱いが簡単になります。
このような観点から交流を表現する方法をフェーザ表示と言います。
そして、フェーザ表示を使用すると交流回路の解析が、直流回路の解析と同様に
なってしまいまいます。(゜o゜;;
- フェーザ表示
少し、具体的な例を見ていきます。
- フェーザ表示による電源の表現
- フェーザ表示による交流電圧と交流電流の表現
- フェーザ表示による回路の解析
- フェーザ表示
過渡現象
- R-C回路
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(1)充電時
回路方程式は以下となります。
E = q/C + Ri ・・・・・(1)
単位時間に断面を通過した電荷量qは、コンデンサに蓄えられる電荷の
単位時間あたりの変化量と等しくなるため、次の関係式がなりたちます。
i = dq/dt ・・・・・(2)
よって、式(2)を式(1)に代入すると
E = q/C + R(dq/dt) ・・・・・(3)
となります。式(3)は変数分離形 の微分方程式であるため、式を変形すると
1/(q - CE) dq = -1/(RC) dt
両辺を積分します。
∫{1/(q - CE)} dq = -1/(RC) ∫dt
積分計算をすると
log(q - CE) = 1/(RC)×t + A
ここでAは積分定数です。
∴q - CE = exp{-1/(RC)×t + A} = exp{-1/(RC)×t}×exp(A) ・・・・・(4)
ここで初期条件から、t=0のときq=0なので、これらを式(4)に代入すると
exp(A) = -CE
このため式(4)は次のようになります。
q = CE(1 - exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(5)
電流iは式(2)よりqの式を時間で微分すればよいので、式(5)を代入して
i = dq/dt = E/R×exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(6)
式(6)をグラフに表すと
コンデンサ両端の電圧Vcは
Vc = q/C
となることから、この式に式(5)を代入すると、
Vc = E(1 - exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(7)
この式をグラフにすると下図となります。
このように、t=0ではVc=0であり、抵抗Rを経由してコンデンサが充電されるに従い
Vc(t)は次第に上昇し、やがてVcはEに等しくなります。
また、このとき、コンデンサに蓄えられる電荷量qはq=CEとなります。
(2)放電時
初期状態においてコンデンサの両端が電圧Eに充電されていて、t=0より
抵抗Rを経由して電荷が放電される場合を考えます。
まず、コンデンサに蓄えられている電荷qは
q = CE ・・・・・(8)
となります。
式(4)においてE=0とおくと
q = exp{-1/(RC)×t}×exp(A) ・・・・・(9)
この式においてt=0のときq=CEとなることから
CE = exp(A)
これにより積分定数Aが決まるため、式(9)に代入すると
q = CE×exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(10)
電流iは式(2)よりqの式を時間で微分すればよいので、式(10)を代入して
i = dq/dt = -E/R×exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(11)
この式は電流の向きを(1)と同じで計算しているため右辺に−がついていますが
これは、放電時は充電時と逆に電流が流れるためです。
コンデンサ両端の電圧Vc(t)は、
Vc = q/Cより
Vc = E×exp{-1/(RC)×t} ・・・・・(11)
放電時のVcの波形は下図となります。
- R-L回路
- R-L-C回路