トランジスタ差動増幅回路の解析

1. 回路の機能

ふたつある入力(v_b1、v_b2)の差分を増幅した出力が得られる回路です。
出力もふたつ(Vc₁、Vc₂)ありますが、ふたつの出力は同じ波形で位相が
180°ずれています。出力は必ずしも両方使う必要はありません。
ふたつあるトランジスタのエミッタ端子は共通になっています。


2. 回路図





3. 等価回路

ふたつのトランジスタをエミッタ接地の 簡略化等価回路で置き換えます。
また、電源のV_CCとV_EEは理想的にはインピーダンスが0なので
交流的にはGNDに接続されるのと同じです。結局、等価回路は
下図にようになります。




4. 動作の解析と増幅度(1)

ふたつあるトランジスタの特性はよくそろっているものとします。
なので、等価回路のhfeとhieはともに等しいと仮定します。
そうすると、等価回路からただちに以下の式が成り立つことが判ります。
vb₁ = ib₁ * hie + ie * R_E　・・・・・　(1)
vb₂ = ib₂ * hie + ie * R_E　・・・・・　(2)
ic₁ = hfe * ib₁　・・・・・・・・・・　(3)
ic₂ = hfe * ib₂　・・・・・・・・・・　(4)
vc₁ = −ic₁ * Rc 　・・・・・・・・・　(5)
vc₂ = −ic₂ * Rc 　・・・・・・・・・　(6)
ie = i_e1 + i_e2 = ib₁ + ic₁ + ib₂ + ic₂　・・・・・　(7)

(3)と(4)を(7)に代入して
ie = ib₁ + hfe * ib₁ + ib₂ + hfe * ib₂
　= (1 + hfe) * ib₁ + (1 + hfe) * ib₂
　= (1 + hfe) * (ib₁ + ib₂)
　≒ hfe * (ib₁ + ib₂)　・・・・・・　(8)
　(∵ hfe >> 1)

一方、(1)と(2)を辺々加えると
vb₁ + vb₂ = (ib₁ + ib₂) * hie + 2 * ie * R_E　 ・・・　(9)

(9)に(8)を代入して(ib₁ + ib₂)を消去すると
vb₁ + vb₂ ≒ (ie / hfe) * hie + 2 * ie * R_E
　　　　 = ie (hie / hfe + 2 * R_E)
　　　　 = ie (hie + 2 * hfe * R_E) / hfe
∴　ie ≒ hfe * (vb₁ + vb₂) / (hie + 2 * hfe * R_E)　・・・　(10)

(10)を(1)に代入して変形していきます。
vb₁ ≒ ib₁ * hie + {hfe * (vb₁ + vb₂) / (hie + 2 * hfe * R_E)} * R_E
右辺の第2項を左辺に移項。
vb₁ - {hfe * R_E * (vb₁ + vb₂) / (hie + 2 * hfe * R_E)} ≒ ib₁ * hie
左辺の分母を通分して
{vb₁ * (hie + 2 * hfe * R_E) - hfe * R_E * (vb₁ + vb₂)} / (hie + 2 * hfe * R_E) ≒ ib₁ * hie
左辺の分子のvb₁の項をまとめると
{vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (hie + 2 * hfe * R_E) ≒ ib₁ * hie
両辺をhieで割ると右辺はib₁の式になります。
{vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (hie + 2 * hfe * R_E) / hie ≒ ib₁
これを(3)に代入すると
ic₁ ≒ hfe * {vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (hie + 2 * hfe * R_E) / hie
さらにこれを(5)に代入すると
vc₁ ≒ −hfe * {vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (hie + 2 * hfe * R_E) / hie * Rc　 ・・・　(11)

泣きそうなくらい複雑な式になりました。(>_<)
とりあえず分母では一般的にhie << 2 * hfe * R_Eの関係が成り立つので
近似するとhfeが約分できるので、
vc₁ ≒ −hfe * {vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (2 * hfe * R_E) / hie * Rc
　　=−{vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (2 * R_E) / hie * Rc
　　=−Rc * {vb₁ * (hie + hfe * R_E) - hfe * R_E * vb₂} / (2 * R_E * hie)　・・・　(12)
もう一息です。分子を変形すると
vc₁ ≒ −Rc * {hfe * R_E * (vb₁ - vb₂) + hie * vb₁ } / (2 * R_E * hie)　・・・　(13)

この式の左辺は出力電圧(vc₁)、右辺は入力電圧vb₁、vb₂の式なので
入出力の関係式となります。
いま、vb₁とvb₂に同じ信号を入力すると vb₁ = vb₂なので
vc₁ ≒ −Rc * {hie * vb₁ } / (2 * R_E * hie))
　　= −Rc * vb₁ / (2 * R_E)　・・・　(14)

このときの利得Acの大きさ|Ac|は
|Ac| = |vc₁ / vb₁| = Rc / (2 * R_E)　・・・　(15)

このAcを同相利得といいます。
次に(13)でvb₁とvb₂に逆相の信号を入力します。 つまりvb₂ = −vb₁とすると
vc₁ ≒ −Rc * {hfe * R_E * (2 * vb₁) + hie * vb₁ } / (2 * R_E * hie)
　　= −Rc * {(2 * hfe * R_E + hie) * vb₁} / (2 * R_E * hie)

となりますが、ここでhie << 2 * hfe * R_Eの関係を使って近似すると
vc₁ ≒ −Rc * {2 * hfe * R_E * vb₁} / (2 * R_E * hie)
　　= −Rc * (hfe * vb₁) / hie　・・・　(16)

このときの利得Adの大きさ|Ad|は
|Ad| = |vc₁ / vb₁| = Rc * hfe / hie　・・・　(17)

このAdを差動利得といいます。
Acに対するAdの比を同相モード除去比(common mode rejection ratio)
またはCMRRといい、(15)と(17)を使って次の式で与えられます
CMRR = |Ad|/|Ac| = (2 * hfe / hie) * R_E　・・・　(18)

ここで(13)の右辺の分母・分子をhieで割って変形すると
vc₁ ≒ −Rc * {hfe / hie * R_E * (vb₁ - vb₂) + vb₁ } / (2 * R_E)
　　= −Rc * {CMRR / 2 * (vb₁ - vb₂) + vb₁ } / (2 * R_E)　・・・　(19)

となります。もしCMRRが十分大きければ、分子の第2項は無視できるので
vc₁ ≒ −Rc * {CMRR / 2 * (vb₁ - vb₂)} / (2 * R_E)
　　= −Rc * {hfe / hie * R_E * (vb₁ - vb₂)} / (2 * R_E)
　　= −Rc * {hfe / hie * (vb₁ - vb₂)} / 2
∴　vc₁ ≒ −{Rc * hfe / (2 * hie)} * (vb₁ - vb₂)　・・・　(20)

となり、vc₁は(vb₁ - vb₂)に比例することから
この回路を差動増幅回路と言います。
このときの増幅度Avは
Av = vc₁ / (vb₁ - vb₂) = −Rc * hfe / (2 * hie) 　・・・　(21)

となりますが、この値は エミッタ接地増幅回路の増幅度の1/2です。

CMRRの値を大きくするためには(18)よりR_Eを大きくすれば良いのですが、
そのためにはR_Eを定電流源に置き換えると性能が向上します。
理想的な定電流源の内部インピーダンスは無限大だからです。


ちなみに、差動出力voを計算すると、
vo = vc₁ - vc₂　・・・　(22)

となりますが、(20)と同様に計算すると
(あるいは、vc₂はvc₁と位相が逆なのでvc₂= -vc₁)
vc₂ ≒ −{Rc * hfe / (2 * hie)} * (vb₂ - vb₁)　・・・　(23)

となるので、(20)(23)を(22)に代入すると
vo ≒ −(Rc * hfe / hie) * (vb₁ - vb₂)　・・・　(24)

このときの増幅度Avは
Av = vo / (vb₁ - vb₂) = −Rc * hfe / hie　・・・　(25)

となり、この値は エミッタ接地増幅回路の増幅度と同じになります。
vc₁またはvc₂を単独で使うと増幅度がエミッタ接地増幅回路の1/2となり
((21)参照)損した気分になるかもしれませんが、差動出力voとして使うと
同じになるのですね。




5. 出力を直接差動出力として求める

前項では出力を対グランド電圧であるvc₁として求めたので複雑な式と
なったのですが、これを最初から差動出力(vo = vc₁ - vc₂)として求めると
計算が無茶苦茶簡単になります。(^^;
まず、
vo = vc₁ - vc₂　・・・・・・・・・　(26)

ですが、これに(5)と(6)を代入すると
vo = -ic₁ * Rc - (-ic₂ * Rc)
　= -(ic₁ - ic₂) * Rc　・・・・・・・・・　(27)

これに(3)と(4)を代入します。
vo = -(hfe * ib₁ - hfe * ib₂) * Rc
∴　vo = -(ib₁ - ib₂)* hfe * Rc　・・・・・・・・・　(28)

さらに(1)と(2)を代入してib₁とib₂を消去すると
vo = -{(vb₁ - ie * R_E) / hie - (vb₂ - ie * R_E) / hie} * hfe * Rc
　 = -{(vb₁ - vb₂) / hie} * hfe * Rc
　 = -(vb₁ - vb₂) * hfe * Rc / hie　・・・・・・・・・　(29)

となり、増幅度は(25)と同じ式になります。
Av = vo / (vb₁ - vb₂) = −Rc * hfe / hie　・・・　(30)

すなわち、この値は エミッタ接地増幅回路の増幅度と同じです。


6. 動作の解析と増幅度(2)

別な方法で増幅度を求めてみます。
動作の解析と増幅度(1) では最初にvc1の一般式(13)を求め、この式に条件を代入して
同相利得の式(15)と差動利得の式(17)を導き、そこから更にCMRRが大きいことを条件に
差動増幅の動作を表す(20)式を求めましたが(11)あたりの計算がたいへんでした。(-_-;
ここでは、まず同相利得の式と差動利得の式を導いてから、vc₁の増幅度を求めます。
最初はテクニカルな方法に見えるかにもしれませんが、いくらかこちらの方が
計算式が簡単(?)に見えます。


まず、出発点となる(1)〜(7)式は同じです。
ふたつあるトランジスタの特性はよくそろっているものとします。
なので、等価回路のhfeとhieはともに等しいと仮定します。
vb₁ = ib₁ * hie + ie * R_E　・・・・・　(1)
vb₂ = ib₂ * hie + ie * R_E　・・・・・　(2)
ic₁ = hfe * ib₁　・・・・・・・・・・　(3)
ic₂ = hfe * ib₂　・・・・・・・・・・　(4)
vc₁ = −ic₁ * Rc 　・・・・・・・・・　(5)
vc₂ = −ic₂ * Rc 　・・・・・・・・・　(6)
ie = i_e1 + i_e2 = ib₁ + ic₁ + ib₂ + ic₂　・・・・・　(7)

まず、vb₁にたいするvc₁の電圧増幅度Av₁を計算します。
(1)と(5)を使い
Av₁ = vc₁ / vb₁ = −ic₁ * Rc / (ib₁ * hie + ie * R_E)　・・・・・　(*1)

(3)と(4)を(7)に代入して
ie = ib₁ + hfe * ib₁ + ib₂ + hfe * ib₂
　= (1 + hfe) * ib₁ + (1 + hfe) * ib₂
　= (1 + hfe) * (ib₁ + ib₂)
　≒ hfe * (ib₁ + ib₂)　・・・・・・　(8と同じ)
　(∵ hfe >> 1)

(*1)に(3)と(8)を代入してieとic₁を消去します。
Av₁ ≒ −hfe * ib₁ * Rc / (ib₁ * hie + hfe * (ib₁ + ib₂) * R_E) 　・・・・・　(*2)

同相入力の場合vb₁=vb2なので、(1)(2)式よりib₁=ib₂ です。
これを(*2)に代入するとibが消えて同相利得Acが求まります。
Ac ≒ −hfe * ib₁ * Rc / (ib₁ * hie + hfe * (ib₁ + ib₁) * R_E)
　= −hfe * ib₁ * Rc / (ib₁ * hie + hfe * 2 * ib₁ * R_E)
∴ Ac ≒ −hfe * Rc / (hie + 2 * hfe * R_E)　・・・・・　(*3)

一般的にhie << 2 * hfe * R_Eの関係が成り立つので近似すると
Ac ≒ −hfe * Rc / (2 * hfe * R_E)
∴　Ac ≒ −Rc / (2 * R_E)　・・・・・　(*4)(15の同相利得の式と同じ)

次に、逆相入力の場合vb₂=−vb₁なので、(1)(2)を辺々足して
0 = (ib₁ + ib₂) * hie + 2 * ie * R_E　・・・・・　(*5)

これに(8)を代入してieを消去すると
0 = (ib₁ + ib₂) * hie + 2 * hfe * (ib₁ + ib₂) * R_E
∴　0 = (ib₁ + ib₂) * (hie + 2 * hfe * R_E)　・・・・・　(*6)

右辺が0になるためにはib₂=−ib₁です。
これを(*2)に代入するとibが消えて差動利得Adが求まります。
Ad ≒ −hfe * ib₁ * Rc / {ib₁ * hie + hfe * (ib₁ - ib₁) * R_E}
∴ Ad ≒ −hfe * Rc / hie　・・・・・　(*7)(17の差動利得の式と同じ)

次からがテクニカルな点です。
ふたつの入力電圧vb1とvb2を次のように 同相入力電圧vi_comと
差動入力電圧vi_diffとに置換え変数変換します。
vi_com = (vb1 + vb2) / 2　・・・・・　(*8)
vi_diff = (vb1 - vb2) / 2　・・・・・　(*9)

逆に(*8)と(*9)をvb1とvb2について解くと
vb1 = vi_com + vi_diff　・・・・・　(*10)
vb2 = vi_com - vi_diff　・・・・・　(*11)

(*10)(*11)よりこれを回路で表すと下図のようになります。


この図を見ると、vi_comはvb₁とvb₂に入力されるので
同相成分であることは明らかです。また、vi_diffはvb₁とvb₂に
逆相成分として入力されることも明らかです。そして、vb₁とvb₂は
独立に変化しますが、(*10)(*11)からvb₁とvb₂は vicomとvidiffとで
置換えたものと等価な入力であることが判ります。

ここまで準備しておいて重ね合わせの原理を使います。
差動増幅回路は線形回路なので重ね合わせの原理が成り立ちます。
出力電圧vc₁、vc₂を求めるにあたり、まず
vi_com≠0、かつvi_diff＝0の出力vc_1com、vc_2com
を求めます。次に、
vi_com＝0、かつvi_diff≠0の出力vc_1diff、vc_2diff
を求めます。
一般の状態であるvi_com≠0、かつvi_diff≠0のときの出力電圧は
重ね合わせの原理により
vc₁ = vc_1com + vc_1diff　・・・・・　(*12)
vc₂ = vc_2com + vc_2diff　・・・・・　(*13)

で求めることが出来ます(下図)。


さて、vi_com≠0、かつvi_diff＝0のとき増幅度をAcとすれば
vc_1com = Ac * vi_com　・・・・・　(*14)
vc_2com = Ac * vi_com　・・・・・　(*15)

となります。そしてAcは 本節の(*4)ですでに与えられています。

次に、vi_com＝0、かつvi_diff≠0のときの増幅度をAdとすれば
vc_1diff = Ad * vi_diff　・・・・・　(*16)
vc_2diff = −Ad * vi_diff　・・・・・　(*17)

となります。そしてAdは 本節の(*7)ですでに与えられています。

(*12)に(*14)(*16)を代入、(*13)に(*15)(*17)を代入すると
vc₁ = Ac * vi_com + Ad * vi_diff　・・・・・　(*18)
vc₂ = Ac * vi_com - Ad * vi_diff　・・・・・　(*19)

さらに(*18)(*19)に(*4)(*7)(*8)(*9)を代入すると
vc₁ = −Rc / (2 * R_E) * (vb1 + vb2) / 2 - hfe * Rc / hie * (vb1 - vb2) / 2
vc₂ = −Rc / (2 * R_E) * (vb1 + vb2) / 2 + hfe * Rc / hie * (vb1 - vb2) / 2

vb₁の項とvb₂との項でまとめ、整理すると
vc₁ = −Rc * {1 / (2 * R_E) + hfe / hie} * vb1 / 2 - Rc * {1 / (2 * R_E) - hfe / hie} * vb2 / 2　・・・・・　(*20)
vc₂ = −Rc * {1 / (2 * R_E) - hfe / hie} * vb1 / 2 - Rc * {1 / (2 * R_E) + hfe / hie} * vb2 / 2　・・・・・　(*21)

{}の中の分母を通分して
vc₁ = −Rc * {(hie + 2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb1 / 2 - Rc * {(hie - 2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb2) / 2　・・・・・　(*22)

vc₂ = −Rc * {(hie - 2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb1 / 2 - Rc * {(hie + 2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb2) / 2　・・・・・　(*23)

ここで一般的にhie ＜＜ (2 * R_E * hfe)が成り立つので近似すると
vc₁ ≒ −Rc * {(2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb1 / 2 - Rc * {(-2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb2 / 2
　　= −Rc * (hfe / hie) * vb1 / 2 - Rc * (-hfe / hie) * vb2) / 2
∴　vc₁ ≒ −Rc * (hfe / hie) * (vb1 - vb2) / 2　・・・・・　(*24)
vc₂ ≒ −Rc * {(-2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb1 / 2 - Rc * {(2 * R_E * hfe)/ (2 * R_E * hie)} * vb2) / 2
　　= −Rc * (-hfe / hie) * vb1 / 2 - Rc * (hfe / hie) * vb2 / 2
∴　vc₂ ≒ −Rc * (hfe / hie) * (vb2 - vb1) / 2　・・・・・　(*25)

これで(20)(23)と同じ式が(*24)(*25)として得られました。



7. 出力インピーダンス

制御電流源のインピーダンスは無限大なので、等価回路より
Zo₁ = Zo₂ = Rc

となります。
差動出力として使う場合は
Zo = 2 * Rc

です。




8. 入力インピーダンス

ふたつの入力間のインピーダンスZiは下記となります。
vi = vb₁ - vb₂
i_i = ib₁ = −ib₂　・・・　(**1)

なので
Zi = vi / i_i = (vi₁ - vi₂) / i_i　・・・　(**2)

この式に(1)、(2)を代入すると
Zi = (ib₁ * hie - ib₂ * hie) / i_i = (ib₁ - ib₂) * hie / i_i　・・・　(**3)

(**1)式を代入すると
Zi = (i_i - ( -i_i)) * hie / i_i = (i_i + i_i) * hie / i_i = 2 * i_i * hie / i_i
∴　Zi = 2 * hie　・・・　(**4)



しかし、下図のようにvb₁とvb₂を別々な信号源vi₁と vi₂に接続した場合の
入力インピーダンスZi₁とZi₂が知りたい場合がありそうです。


しかし、この場合Zi₁はv_b2の、Zi₂はv_b1の 影響を受けて
一定の値にならないと思われます。




9. 参考文献

1. 速解電子回路(1996 初版第7刷) 7.2.3 差動増幅回路、宮田武雄著、コロナ社
2. 電子回路(平成20(2008)年 第1版第1刷) 6.1 差動増幅回路の特性を知ろう、岩田聡編著、オーム社
3. アナログ電子回路の基礎(2003 第1版第1刷) 10.5 差動増幅回路、堀桂太郎著、東京電機大学出版局
4. 定本トランジスタ回路の設計(1991 初版) 第11章 差動増幅回路の設計、鈴木雅臣著、CQ出版社
5. はじめてのトランジスタ回路設計(1999 初版) P113-118 3石で組むOPアンプ、黒田徹著、CQ出版社
6. 実験で学ぶ最新トランジスタ・アンプ設計法(1988 4版) P142-149 差動増幅回路の解析、黒田徹、 ラジオ技術社