エミッタ・フォロワーの解析(工事中)

1. 等価回路

   増幅回路自体の等価回路は下図によにうなります。エミッタ・フォロワーでは
   入力インピーダンスを考える際は、次段の回路の入力インピーダンス:R_Lが
   出力インピーダンスを考える際は、前段の回路の出力(信号源)インピーダンス:R_Lが
   影響するため、計算は少し面倒になります。
   
   
   

2. 入力インピーダンス

   1. 解析方法(1)
      真面目に(?)計算すると意外とたいへんなので、
      以下の手順を考えてみました。
      
      
      まず最初に、等価回路のx-x'より右側のインピーダンス:Zxを求めます。
      キルヒホッフの電圧法則より以下の式が成立します。
      vi = hic * ib + (β+1) * ib * R
      = [hic + (β+1) * R] * ib
      
      ここに、
      R = R_E//R_L
      です。R_Lは次段の回路の入力インピーダンスです。
      
      Zxはvi/ibであるため、
      Zx = vi/ib = hic + (β+1) * R
      
      次にR_B = R1//R2
      とすれば、y-y'から右側を見たインピーダンス:Ziは
      明らかにR_BとZxを並列に接続したものです。すなわち、
      Zi = R_B//Zx
      = R_B//[hic + (β+1) * R]
      
      この式と等価回路を比較してみると、Rが(β+1)倍に変換 されている
      ところが特徴であり、入力インピーダンスが高くなることが判ります。
      なお、ここでhicはhieと同じであり、 hie=1/(40 * IE) × βの概算式を使うことが
      できます。また、一般的にβ>>1なのでβ+1≒βとしてもよいので、
      
      Zi ≒ R_B//[hie + β * R]
      
      
      
   2. 解析方法(2)
      
      真面目に(?)計算する方法により解析します
      
      B点、およびC点についてキルヒホッフの電流法則を適用すると、
      B点: i1 - Vi/R_B - (Vi - Vo)/hic = 0 ・・・・・・・・・�@
      C点: (Vi - Vo)/hic * (β+1) - Vo/R = 0 ・・・・・・・�A
      
      ここに、
      R_B = R1//R2
      R = R_E//R_L
      です。R_Lは次段の回路の入力インピーダンスです。
      
      これらの式を整理すると(i1,Vi,Voに着目します)、
      hic * R_B * i1 - (hic + R_B) * Vi + R_B * Vo = 0 ・・・・・�B
      (β+1) * R * Vi - [(β+1) * R + hic] * Vo = 0 ・・・・・�C
      
      �Cの式を「Vo=」の形に変形します。
      Vo = (β+1) * R / [(β+1) * R + hic] * Vi ・・・・・(a)
      
      この式を�Bに代入してVoを消去します。
      hic * R_B * i1 - (hic + R_B) * Vi + R_B * (β+1) * R / [(β+1) * R + hic] * Vi = 0
      
      Viの項をまとめます。
      hic * R_B * i1 - {[(hic + R_B) * [(β+1) * R + hic] - R_B * (β+1) * R} / [(β+1) * R + hic] * Vi = 0
      
      第２項の分子を展開すると、「R_B * (β+1) * R」の項が消えるので、
      hic * R_B * i1 - [ hic * (β+1) * R + R_B * (β+1) * R + hic²+ R_B * hic - R_B * (β+1) * R] / [(β+1) * R + hic] * Vi = 0
      hic * R_B * i1 - [ hic * (β+1) * R + hic² + R_B * hic] / [(β+1) * R + hic] * Vi = 0
      
      各項にhicが共通項としてあるので、hicで割ります。
      R_B * i1 - [(β+1) * R + hic + R_B] / [(β+1) * R + hic] * Vi = 0
      
      Vi= の形に変形すると、
      Vi = R_B * [(β+1) * R + hic] / [(β+1) * R + hic + R_B] * i1
      
      ZiはVi/i1なので、
      Zi = Vi/i1
      = R_B * [(β+1) * R + hic] / [(β+1) * R + hic + R_B]
      = 1/ {[(β+1) * R + hic + R_B]/R_B * [(β+1) * R + hic]}
      = 1/ {1/R_B + 1/[(β+1) * R + hic]}
      
      この式は、ZiがR_Bと[(β+1) * R + hic]の並列接続であることを表しています。
      すなわち、
      Zi = R_B//[(β+1) * R + hic]
      
      ここでhicはhieと同じであり、hie=1/(40 * IE) × βの概算式を使うことが
      できます。また、一般的にβ>>1なのでβ+1≒βとしてもよいので、
      
      Zi ≒ R_B//(hie + β*R)
      
      以上が結論ですが、式の変形に疲れました。(^_^;;
      
   
   

3. 出力インピーダンス

   1. 解析方法(1)
      出力インピーダンスも真面目に(?)計算すると意外とたいへんなので、
      まず、簡単な方法で求めます。
      
      
      
      まず、R1,R2,Rsはそれぞれ並列接続されているので、
      R_B = R1//R2
      ρ = R_B//Rs
      としてR_Bとρを定義します。すると、
      E点にキルヒホッフの電流法則を適用すると、
      ib + β*ib - vo/R_E - i2 = 0
      ib * (β + 1) - vo/R_E - i2 = 0・・・・・・・(b)
      
      ここで、
      ib = -vo/(ρ + hic)
      の関係があるので、この式を(b)式に代入して変形すると
      - vo * (β + 1)/(ρ + hic) - vo/R_E - i2 = 0
      - vo[(β + 1)/(ρ + hic) + 1/R_E] - i2 = 0
      vo = - i2 /[(β + 1)/(ρ + hic) + 1/R_E]
      
      従って
      Zo = -vo/i2 = 1 /[(β + 1)/(ρ + hic) + 1/R_E]
      　= 1 /[(β + 1)/(ρ + hic) + 1/R_E]
      　= 1 /[1/{(ρ + hic)/(β + 1)} + 1/R_E]
      
      ∴ Zo　= [(ρ + hic)/(β + 1)]//R_E
      
      となります。
      この式と等価回路を見比べると、(hic + ρ)が1/(β + 1)倍に変換 されて、低くなることが判ります。
      なお、ここでもhicはhieと同じであり、hie=1/(40 * IE) × βの概算式を使うことが
      できます。
      
      
   2. 解析方法(2)
      
      真面目に(?)計算する方法により解析します
      出力インピーダンスを求めるためには、等価回路においてVs=0とし
      RLを取り去って、代わりに信号源:Voを接続したと考えると下図のようになります。
      
      �@、�A式において、i1=-vi/Rs、RL=∞(R=RE)と置くと
      -vi/Rs - Vi/R_B - (Vi - Vo)/hic = 0 ・・・・・・・・・�D
      (Vi - Vo)/hic * (β+1) - Vo/RE = 0 ・・・・・・・�E
      
      ここに、
      R_B = R1//R2
      です。
      これらの式をVi,Vo,i2に着目して整理すると、
      - (1/Rs + 1/R_B + 1/hic) * vi + vo/hic = 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・�F
      (β + 1)/hic * vi - [(β + 1)/hic + 1/RE] * vo - i2 = 0 ・・・・�G
      
      �F式を変形して、vi=の形にします。
      vi = vo/[hic * (1/Rs + 1/R_B + 1/hic]
      　= vo/[hic * (1/Rs + 1/R_B) + 1]・・・・�H
      
      ここで、ρ=Rs//R_Bと置くと、
      1/ρ=1/Rs + 1/R_Bとなるので、�H式は次のようになります。
      vi = vo/(hic /ρ + 1)
      
      この式を�G式に代入すると、
      (β + 1)/hic * vo/(hic /ρ + 1) - [(β + 1)/hic + 1/RE] * vo - i2 = 0
      
      第1項の分母分子にρをかけ、voの項を纏めます。また、i2を右辺に移項すると、
      (β + 1)/hic * ρ/(hic + ρ) - (β + 1)/hic - 1/RE] * vo = i2
      
      vo= の形に変形します。
      vo = i2/[(β + 1)/hic * ρ/(hic + ρ) - (β + 1)/hic - 1/RE]
      
      (β + 1)/hicの項があるのでくくり出すと
      vo = i2/{(β + 1)/hic * [ρ/(hic + ρ) - 1] - 1/RE}
      
      [ρ/(hic + ρ) - 1]の中をhic + ρで通分すると分子のρが消えます。
      vo = i2/{(β + 1)/hic * [(ρ - hic - ρ)/(hic + ρ)] - 1/RE}
      vo = i2/{(β + 1)/hic * [- hic/(hic + ρ)] - 1/RE}
      
      分母の第1項の分数は、分母分子にhicがあるので約せます。
      vo = i2/{- (β + 1) * /(hic + ρ) - 1/RE}
      　= - i2/{(β + 1) * /(hic + ρ) + 1/RE}
      
      Zoはvo/-i2であるので、
      Zo = 1/{(β + 1) * /(hic + ρ) + 1/RE}
      　 = 1/{1/[(hic + ρ)/(β + 1)] + 1/RE}
      
      この式は、Zoが(hic + ρ)/(β + 1)とREの並列接続であることを示しています。
      すなわち、
      Zo = [(hic + ρ)/(β + 1)]//RE
      
      この式と等価回路を見比べると、(hic + ρ)が1/(β + 1)倍に変換 されて、低くなることが判ります。
      と、いう訳でZoの計算も式の変形に疲れました。(^_^;;
      
      
      
   
   

4. 電圧増幅度

   電圧増幅度:Av = vo/viですが、これは(a)式よりただちに以下のように求まります。
   Av = (β+1) * R/[(β+1) * R + hic]
   
   ここに、
   R = R_E//R_L
   です。また、R_Lは次段の回路の入力インピーダンスです。
   
   ここで、β>>1であることと、hic≒β*γ(γ=1/[40 * IE])の近似式を使うと、
   
   Av = R/(R + γ)
   
   更に、R>>γである場合は、
   
   Av ≒ 1
   
   となります。
   
   
   

5. 参考文献

   1. 簡明電子回路入門(1980 初版)、矢部初男著、槇書店
   2. 実験で学ぶ最新トランジスタ・アンプ設計法(1988 4版)、黒田徹著、ラジオ技術社