連続関数の四則演算

(1)c f(x)　　(c:定数)
(2)f(x) ± g(x)
(3)f(x) g(x)
(4)f(x) / g(x)　　(g(x)≠0)

1. c f(x)　　(c:定数)
   【証明】
   f(x)がx=x0で連続なとき
   lim(x→x0)f(x) = f(x0)
   
   lim(x→x0){c f(x)}
   　　= c lim(x→x0){f(x)}　　(関数の極限の定数倍)
   　　= c f(x0)　　　　　　　　(仮定)
   
   よってc f(x)はx=x0において連続である。　　【証明終】(2019/6/20)
   
   
2. f(x) ± g(x)
   【証明】
   f(x), g(x)がx=x0で連続なとき
   lim(x→x0)f(x) = f(x0), lim(x→x0)g(x) = g(x0)
   
   = lim(x→x0){f(x) ± g(x)}
   　　= lim(x→x0)f(x) ± lim(x→x0)g(x)}　　(関数の極限の和)
   　　= f(x0) ± g(x0)　　　　　(複合同順)　　　(仮定)
   
   よってf(x)±g(x)はx=x0において連続である。　　【証明終】(2019/6/20)
   
   
3. f(x) g(x)
   【証明】
   f(x), g(x)がx=x0で連続なとき
   lim(x→x0)f(x) = f(x0), lim(x→x0)g(x) = g(x0)
   
   = lim(x→x0){f(x) ・ g(x)}
   　　= lim(x→x0)f(x) ・ lim(x→x0)g(x)}　　(関数の極限の積)
   　　= f(x0) ・ g(x0)　　　　　　　　(仮定)
   
   よってf(x)g(x)はx=x0において連続である。　　【証明終】(2019/6/20)
   
   
4. f(x) / g(x)　　(g(x)≠0)
   【証明】
   f(x), g(x)がx=x0で連続なとき
   lim(x→x0)f(x) = f(x0), lim(x→x0)g(x) = g(x0)
   
   = lim(x→x0){f(x) / g(x)}
   　　= lim(x→x0)f(x) / lim(x→x0)g(x)}　　(関数の極限の商)
   　　= f(x0) / g(x0)　　　　　(g(x)≠0)　　　　　(仮定)
   
   よってf(x)/g(x)はx=x0において連続である。　　【証明終】(2019/6/20)