微分積分

1. 数学記号の使い方

   あまり手間はかけたくなので、ここのページでは下表のような
   独自の記号表現をしています。
   

   No.	名称	一般的な数学記号	このページでの数学記号
   1	Σ	n Σa(i) i=1	Σ(i=1,n) a(i)
   2	極限	lim f (x) x→0	lim(x→0) f (x)

2. 1変数関数の連続と極限(工事中)

   1. 【定義】xがある値aに限りなく近づくにつれて、関数y=f(x)の値が一定の値Aに限りなく
      近づくならば、これをx→aのときf(x)→A　または
      
      lim(x→a) f(x) = A
      
      と書き、x→aのときf(x)はAに収束するといい、Aをその極限値
      (または極限)という。
      
      
   2. x→aのときf(x)が正(負)で絶対値が限りなく大きくなるとき、f(x)は正(負)の無限大に
      発散するといい、これをx→aのときf(x)→∞(−∞)　または
      
      lim(x→a) f(x) = ∞　(−∞)
      と書く。
      
      
   3. lim(x→a)f(x) = A, lim(x→a)g(x) = Bのとき
      (1) lim(x→a)cf(x) = c lim(x→a)f(x) = c A　　(c: 定数)
      (2) lim(x→a){f(x) ± g(x)} = lim(x→a)f(x) ± lim(x→a)g(x) = A±B
      (3) lim(x→a){f(x) g(x)} = lim(x→a)f(x) lim(x→a)g(x) = AB
      (4) lim(x→a){f(x) / g(x)} = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) = A/B　　(B≠0)
      
      x→aの代わりにx→∞またはx→−∞のときも成り立つ。
      
      
   4. 【定義】関数f(x)の定義域内の点x0ににおいて、
      lim(x→x0) f(x) = f(x0)
      
      が成り立つとき、f(x)は、x=x0 において連続であるという。
      またf(x)は区間Iのすべての点において連続であるとき、
      f(x)は区間Iにおいて連続であるという。
      
      f(x)がx=aで連続でないとき、f(x)はx=aにおいて不連続であるといい、
      aを不連続点という。
      
      
   5. f(x), g(x)が連続ならば次の関数も連続となる。
      (1)Ac f(x)　　(c:定数)
      (2)f(x) ± g(x)
      (3)f(x) g(x)
      (4)f(x) / g(x)　　(g(x)≠0)
      
      
   6. 2つの関数f(x), g(x)が連続ならば、合成関数g{f(x)}も連続である。
      
      
      
   7. <<中間地の定理>>
      関数f(x)が閉区間[a,b]で連続でf(a)≠f(b)のとき、f(a),f(b)の間の任意の値kに対して
      
      f(c) = k　　(a < c < b)
      
      となるcが少なくとも1つ存在する。
      
      
   8. <系>関数f(x)が閉区間[a,b]で連続でf(a)f(b)<0のとき
      
      f(c) = 0　　(a < c < b)
      
      となるcが少なくとも1つ存在する。
      
      
   9. <<最大・最小値定理>>
      閉区間[a,b]で連続な関数f(x)はこの区間で最大値、最小値わとる。
      
      
   10. 【定義】関数f(x)がある区間の2点x1,x2(x1
       f(x1) < f(x2)　　(f(x1)
       であるとき、f(x)はその区間で単調増加[単調減少]であるという。
       単調増加または単調減少である関数を単調関数という。
       
       
   11. 連続な単調増加(減少)関数の逆関数はまた、その定義域において
       連続かつ単調増加(減少)である。
       
       

3. 1変数関数の微分

   1. 【定義】関数y=f(x)においてxがx0からx1まで変化するとき、
      その変化量x1-x0 = �凅、f(x1)-f(x0) = y1-y0 = �凉をそれぞれ
      xの増分、yの増分といい
      
      �凉/�凅 = {f(x1)-f(x0)}/(x1-x0)
      
      をf(x)の(x1,x0)における平均変化率という。
      これは下図において線分ABの傾きに等しい。
      
      
      平均変化率において�凅→0としたときの極限
      
      lim(�凅→0)(�凅/�凉) = lim(x1→x0){f(x1)-f(x0)}/(x1-x0) = f'(x0)
      
      をf(x)のx=x0における微分係数(変化率)という。
      �凅=hとおくと
      
      f'(x0) = lim(h→0){f(x0+h) - f(x0)}/h
      
      この極限が存在するとき、関数f(x)はx=x0において微分可能であるという。
      f'(x0)は下図において曲線上の点Aにおける接線ATの傾きに等しい。
      
      
   2. 関数f(x)がx=x0で微分可能であれば、その点で連続である。
      
      
   3. 【定義】関数y=f(x)が区間Iの任意の点で微分可能であるときf(x)は
      区間Iで微分可能であるという。このときIの各点xにその微分係数を
      対応させる関数をf(x)の導関数といい、これをf'(x)またはy'で書き表す。すなわち
      
      f'(x) = lim(h→0){f(x+h) - f(x)}/h = lim(�凅→0)(�凉/�凅)
      
      と表されるので、これをdy/dx、df(x)/dx、d/dx f(x)、Df(x)などとも書く。
      f(x)の導関数を求めることをf(x)を微分するという。
      
      
   4. (xⁿ)' = nx^n-1)'　　(n: 正の整数)
      
      
   5. 【定義】
      
      
   6. 【定義】
      
      

4. 1変数関数の積分

5. 2変数関数

6. 2変数関数の微分

7. 2変数関数の積分