lim(x→0) {sin x / x } = 1

JH8CHUのホームページ>数学公式集> lim(x→0) {sin x / x } = 1

lim(x→0) {sin x / x } = 1

【証明】

x > 0とする。
上図のように、中心O、半径1の円上に∠AOP = x となる点Pをとる。
次にOPの延長線上に∠OATが直角となる点Tをとる。
そして、△OAP、扇形OAP、△OATの面積を比較してみると、

△OAP ＜扇形OAP ＜ △OAT

である。各面積を計算して代入すると、

tan x = sin x/cos x、sin x ＞ 0なので、

1 ＞ sin x / x ＞ cos x

ここで、x→+0(正の値で0に近づける)とすると

lim(x→+0) {sin x / x } = 1

三角形の面積の公式より

【証明終】
2006/11/23

JH8CHUのホームページ>数学公式集>lim(x→0) {sin x / x } = 1