JH8CHUのホームページ>数学公式集>nCrに関する等式

nCrに関する等式


  1. nCr = nCn-r

    nCr
    = n! / r!(n-r)!
    = n! / (n-r)!r!
    = n! / (n-r)!{n-n+r}!
    = n! / (n-r)!{n-(n-r)}!
    = nCn-r

    【証明終】
    2015/12/12

  2. nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

    右辺を変形して、左辺になることを証明します。(その方が計算が判りやすいと思う)
    (右辺) = n-1Cr-1 + n-1Cr
    = (n-1)! / (r-1)!{(n-1)-(r-1)}! + (n-1)! / r!{(n-1)-r}!
    = (n-1)! / (r-1)!(n-r)! + (n-1)! / r!(n-r-1)!

    第1項の分母分子にrを、第2項の分母分子に(n-r)をかけます。
    (右辺) = r (n-1)! / r (r-1)!(n-r)! + (n-r) (n-1)! / r!(n-r) (n-r-1)!
    = r (n-1)! / r!(n-r)! + (n-r) (n-1)! / r!(n-r)!
    = {r (n-1)! + (n-r) (n-1)!} / r!(n-r)!
    = {r + (n-r)} (n-1)! / r!(n-r)!
    = n (n-1)! / r!(n-r)!
    = n! / r!(n-r)!
    = nCr
    = (左辺)

    【証明終】
    2015/12/12


JH8CHUのホームページ>数学公式集>nCrに関する等式


Copyright (C)2015 Masahiro.Matsuda(JH8CHU), all rights reserved.