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nCrに関する等式
- nCr = nCn-r
nCr
= n! / r!(n-r)!
= n! / (n-r)!r!
= n! / (n-r)!{n-n+r}!
= n! / (n-r)!{n-(n-r)}!
= nCn-r
【証明終】
2015/12/12
- nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr
右辺を変形して、左辺になることを証明します。(その方が計算が判りやすいと思う)
(右辺) = n-1Cr-1 + n-1Cr
= (n-1)! / (r-1)!{(n-1)-(r-1)}! + (n-1)! / r!{(n-1)-r}!
= (n-1)! / (r-1)!(n-r)! + (n-1)! / r!(n-r-1)!
第1項の分母分子にrを、第2項の分母分子に(n-r)をかけます。
(右辺) = r (n-1)! / r (r-1)!(n-r)! + (n-r) (n-1)! / r!(n-r) (n-r-1)!
= r (n-1)! / r!(n-r)! + (n-r) (n-1)! / r!(n-r)!
= {r (n-1)! + (n-r) (n-1)!} / r!(n-r)!
= {r + (n-r)} (n-1)! / r!(n-r)!
= n (n-1)! / r!(n-r)!
= n! / r!(n-r)!
= nCr
= (左辺)
【証明終】
2015/12/12
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