加法定理

sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ (複号同順)
cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

【証明1】

それぞれの点の座標は、

A(1, 0)、　B(cos(α + β), sin(α + β) )

また、

C(cosβ, sinβ)、　D(cosα, sinα)

このとき、AB=CDなので、

{cos(α + β) - 1}² + {sin(α + β) - 0}² = (cosα - cosβ)² + (-sinα - sinβ)²
∴ 2 - 2cos(α - β) = 2 - 2(cosα cosβ - sinα sinβ)
∴cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ

ここで、βを-βに置き換えると、
cos(-β) = cosβ, sin(-β) = -sinβより、
cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ
また、αをπ/2-αに置き換えると、
cos{(π/2 - α) - β} = cos(π/2 - (α + β)} = sin(α + β)
cos(π/2 - α) = sinα、sin(π/2 - α) = cosαより
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
さらにこの式で、βを-βに置き換えると、
sin(α - β) = sin cosβ - cosα sinβ

【証明終】
2009/02/14

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