行列の和の基本法則

A、B、Cをすべて同じ型の行列とするとき、

A + B = B + A (交換法則)
(A + B) + C = A + (B + C) (結合法則)

(1)交換法則
【証明】
A + B
   = (a_ij) + (b_ij)
   = (a_ij + b_ij)   (定義)
   = (b_ij + a_ij)   (体の性質)
   = (b_ij) + (a_ij)  (定義)
   = B + A  (定義)
【証明終】
2006/07/16

(2)結合法則
(A + B) + C
   = ( (a_ij) + (b_ij) ) + (c_ij)    (定義)
   = (a_ij + b_ij) + (c_ij)    (定義)
   = ( (a_ij + b_ij) + c_ij)    (定義)
   = ( a_ij + ( b_ij + c_ij) )    (体の性質)
   = ( a_ij) + ( b_ij + c_ij)    (定義)
   = ( a_ij) + ( ( b_ij) + (c_ij) )    (定義)
    = A + (B + C)    (定義)
【証明終】
2006/07/16

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