xのn乗の微分

【証明1】
数学的帰納法により証明する。
(1)n=1のとき
左辺=(x¹)' = x' = 1
右辺=1･x^1-1 = x⁰ = 1
左辺=右辺なので成立する。
(2)n=kのとき成立すると仮定すると、次の式が成立する。

(x^k)' = kx^k-1 (*)

n=k+1のとき、積の微分法と上の仮定した式(*)を使うと、
右辺=(x^k+1)' = (x･x^k)' = x'･x^k + x･(x^k)' =1･x^k + x･kx^k-1 = x^k + kx^k = (k+1)x^k
右辺=(k+1)x^(k+1)-1 = (k+1)x^k

左辺=右辺なので成立する。
以上より、すべての自然数nについて公式が成立する。【証明終】

【証明2】
二項定理を用いる
(xⁿ)' = lim(h→0){(x+h)ⁿ - xⁿ}/h
=lim(h→0){xⁿ + _nC₁hx^n-1 + _nC₂hx^n-2 + ・・・+ _nC_nhⁿ - xⁿ}/h
=lim(h→0)(_nC₁hx^n-1 + _nC₂hx^n-2 + ・・・+ hx^n-1
=_nC₁x^x-1 = nx^n-1 ただし、_nC_k = n!/{k !(n-k !)}である。 【証明終】

2005/09/17