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(AB)の逆行列=Bの逆行列×Aの逆行列


正則なn次正方行列A、Bに対して

(AB)-1 = B-1A-1

が成立する。

【証明】
C = AB、X = B-1A-1とおくとき

CX = XC = E

が示せれば、逆行列の定義よりX = C-1が示せる。
結合法則と単位行列の性質を使って計算すると、

CX = (AB)(B-1A-1
= A(BB-1)A-1
= AEA-1
= AA-1
= E

XC = (B-1A-1)(AB)
= B-1(A-1A)B
= B-1EB
= B-1B
= E

ゆえに、CX = XC = Eなので、X = C-1

∴ B-1A-1 = (AB)-1 【証明終】


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