【証明】
C = AB、X = B-1A-1とおくとき
CX = XC = E
が示せれば、逆行列の定義よりX = C-1が示せる。
結合法則と単位行列の性質を使って計算すると、
CX = (AB)(B-1A-1
= A(BB-1)A-1
= AEA-1
= AA-1
= E
XC = (B-1A-1)(AB)
= B-1(A-1A)B
= B-1EB
= B-1B
= E
ゆえに、CX = XC = Eなので、X = C-1。
∴ B-1A-1 = (AB)-1
【証明終】