逆行列はただ１つ

【証明】
X₁、X₂(X₁≠X₂)がともにAの逆行列だとすると、
逆行列の定義よりX₁、X₂について

AX₁ = X₁A = E ・・・(1)
AX₂ = X₂A = E ・・・(2)

が成立している。したがって、

X₁　= X₁E
= X₁(AX₂) ((2)より)
= (X₁A)X₂
= EX₂ ((1)より)
= X₂

このことは、X₁≠X₂と矛盾する。
ゆえに正則な行列Aの逆行列はただ１つ存在する。【証明終】