【証明】
初項a、公差dの等差数列の第n項までの和をSnとすると、
Sn=a+(a+d)+(a+2d)+・・・・・・+{a+(n-1)d} (1)
この等差数列の末項をlとして、右辺の項を逆の順に並べて書くと、
Sn=l+(l-d)+(l-2d)+・・・・・・+{l-(n-1)d} (2)
(1)(2)式を辺々加えると、
2Sn=(a+l)+(a+l)+(a+l)+・・・・・・+(a+l)
ここで、右辺は(a+l)をn個加えたものとなるから、
2Sn=n(a+l)
∴ Sn=n(a+l)/2
この式にl=a+(n-1)dに代入して、
Sn=n{2a+(n-1)d}/2 【証明終】