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等差数列の和


初項a、公差d、項数nの等差数列の和をSnとすれば
Sn=n{2a+(n-1)d}/2

【証明】
初項a、公差dの等差数列の第n項までの和をSnとすると、

Sn=a+(a+d)+(a+2d)+・・・・・・+{a+(n-1)d} (1)

この等差数列の末項をlとして、右辺の項を逆の順に並べて書くと、

Sn=l+(l-d)+(l-2d)+・・・・・・+{l-(n-1)d} (2)

(1)(2)式を辺々加えると、

2Sn=(a+l)+(a+l)+(a+l)+・・・・・・+(a+l)

ここで、右辺は(a+l)をn個加えたものとなるから、

2Sn=n(a+l)
∴ Sn=n(a+l)/2

この式にl=a+(n-1)dに代入して、

Sn=n{2a+(n-1)d}/2 【証明終】


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