(AB)^-1 = B^-1 A^-1

【証明】
C=AB、X=B^-1A^-1とおくとき、
CX = XC =E

が示せれば、逆行列の定義よりX=C^-1が示せる。
結合法則と単位行列の性質を使って計算すると
CX = (AB)(B^-1A^-1)　　(仮定)
　　=A(BB^-1)A^-1　　　(結合法則)
　　=AEA^-1　　　　　　　(逆行列の定義)
　　=AA^-1　　　　　　　(単位行列の性質)
　　=E　　　　　　　　　　(逆行列の定義)

同様に、
XC = (B^-1A^-1)(AB)　　(仮定)
　　=B^-1(A^-1A)B　　　(結合法則)
　　=B^-1EB　　　　　　　(逆行列の定義)
　　=B^-1B　　　　　　　(単位行列の性質)
　　=E　　　　　　　　　　(逆行列の定義)

ゆえにCX=XC=EなのでX=C^-1。
∴B^-1 A^-1 = (AB)^-1
【証明終】(2019/05/01)