行列の積、スカラー倍に関する法則

• 積に関する性質
  (AB)C = A(BC)　　　　(結合法則)
  A(B+C) = AB + AC　　(分配法則)
  (A+B)C = AC + BC　　(分配法則)
  
  
• スカラー倍に関する性質
  (aA)B = A(aB) = a(AB)
  

1. (AB)C = A(BC)
   【証明】
   これはかなりとめんどうなので後報。m(__)m
   
   
2. A(B+C) = AB + AC
   【証明】
   A=(aij)、B=(bij)、C=(cij)とおくとき、任意のi, jについて
   A(B+C) = (aij) {(bij)+(cij)}　　　
   　　　= (aij) (bij+cij)　　　 (行列の和ーの定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)[aik･{bkj + ckj}])　　　 (行列の積の定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)[aik･bkj + aik･ckj])　　　 (実数の分配法則)
   　　　= (Σ(k=1,m)[aik･bkj] + Σ(k=1,m)[aik･ckj])　　　 (実数の分配法則)
   　　　= (Σ(k=1,m)[aik･bkj]) + (Σ(k=1,m)[aik･ckj])　　(行列の和ーの定義)
   
   　　　= (aij)(bij) + (aij)(cij)　　　 (行列の積の定義)
   　　　= AB + AC
   
   同様に、AC + BCを証明出来る。【証明終】(2019/5/2)
   
   
3. (aA)B = A(aB) = a(AB)
   【証明】
   A=(aij)、B=(bij)とおくとき、任意のi, jについて
   (aA)B = (a(aij))(bij)
   　　　= (aaij)(bij)　　　　(行列のスカラー倍の定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)(aaik･bkj)　(行列の積の定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)(aik･abkj)　(実数の結合法則)
   　　　= (aij)(abij)　(行列の積の定義)
   　　　= (aij)(a(bij))　　　　(行列のスカラー倍の定義)
   　　　= A(aB)
   
   A=(aij)、B=(bij)とおくとき、任意のi, jについて
   (aA)B = (a(aij))(bij)
   　　　= (aaij)(bij)　　　　(行列のスカラー倍の定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)(aaik･bkj)　(行列の積の定義)
   　　　= (Σ(k=1,m)(a(aik･bkj))　(実数の結合法則)
   　　　= a(Σ(k=1,m)(aik･bkj))　(行列のスカラー倍の定義)
   　　　= a(aij)(bij)　　　　(行列の積の定義)
   　　　= a(AB)
   【証明終】(2019/05/02)