ゼロ行列に関する法則

A + O = O + A = A
A + ( -A ) = ( -A ) + A = O

ここで、-Aは(-1)Aのこと。

1. A + O = O + A = A
   【証明】
   A=(aij)とおくとき、任意のi, jについて
   A+O = (aij) + (0)　　　 (ゼロ行列の定義)
   　　　= (aij + 0)　　　 (行列の和の定義)
   　　　= (aij)　　　　　 (実数の性質)
   　　　= A
   
   同様に、0+A=Aを証明出来る。【証明終】(2019/4/28)
   
   
2. A + ( -A ) = ( -A ) + A = O
   【証明】
   A=(aij)とおくとき、任意のi, jについて
   A+(-A) = (aij) + (-1)(aij)　　　
   　　　= (aij) + (-aij)　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　= (aij - aij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　= (0)　　　　　　　　 (実数の性質)>
   　　　= O　　　　　　　　 (ゼロ行列の定義)
   
   同様に、(-A)+A=0を証明出来る。【証明終】(2019/4/28)
   
   
   (参考)ゼロ行列を、
   A + O = O + A = A
   となる行列Oが存在する。
   と定義するやり方もある。