行列の和、スカラー倍に関する法則

• (i)和に関する性質
  A + B = B + A　　　　　　　　　　(交換法則)
  ( A + B ) + C = A + ( B + C )　　(結合法則)
  
  
• (ii)スカラー倍に関する性質
  ( a + b ) A = aA + bA　　　　(分配法則)
  a ( A + B ) = aA + aB　　　　(分配法則)
  ( ab )A = a ( bA )　　　　　 (結合法則)
  

1. A + B = B + A
   【証明】
   A=(aij)、B=(bij)とおくとき、任意のi, jについて
   A+B = (aij) + (bij)　　　
   　　　= (aij + bij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　= (bij + aij)　　　 (実数の性質)
   　　　= (bij) + (aij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　= B + A　　　　　 【証明終】(2019/4/27)
   
   
2. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
   【証明】
   A=(aij)、B=(bij)、C=(cij)とおくとき、任意のi, jについて
   (A+B)+C = ((aij) + (bij)) + (cij)　　　
   　　　　　　= (aij + bij) + (cij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= ((aij + bij) + cij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= (aij + (bij + cij))　　　 (実数の性質)
   　　　　　　= (aij) + (bij + cij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= (aij) + ((bij) + (cij))　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= A + ( B + C )　　　　　【証明終】(2019/4/27)
   
   
3. ( a + b ) A = aA + bA
   【証明】
   A=(aij)とおくとき、任意のi, jについて
   ( a + b ) A = (a+b) (aij)　　　
   　　　　　　= ((a+b) aij)　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　　　　= (aaij + baij)　　　 (実数の性質)
   　　　　　　= (aaij) + (baij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= a(aij) + b(aij)　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　　　　= aA + bA　　　　　【証明終】(2019/4/27)
   
   
4. a ( A + B ) = aA + aB
   【証明】
   A=(aij)、B=(bij)とおくとき、任意のi, jについて
   a ( A + B ) = a (aij + bij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= (a (aij + bij))　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　　　　= (a aij + a bij)　　　 (実数の性質)
   　　　　　　= (a aij) + (a bij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= a (aij) + a (bij)　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　　　　= aA + aB　　　　　【証明終】(2019/4/27)
   
   
5. ( ab )A = a ( bA )
   【証明】
   A=(aij)とおくとき、任意のi, jについて
   ( ab )A = (ab) (aij)　　　
   　　　　　　= ((ab) aij)　　　 (行列のスカラーの定義)
   　　　　　　= (a (b aij))　　　 (実数の性質)
   　　　　　　= a (b aij)　　　 (行列の和の定義)
   　　　　　　= a (bA)　　　　　【証明終】(2019/4/27)